MECÂNICA GRACELI GENERAL - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE CAMPOS [853]

MECÃNICA GRACELI GERAL - QTDRC.

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

[

$\psi ^{*}$

$TeoriaInteraçãomediadorMagnitude relativaComportamentoFaixaCromodinâmicaForça nuclear forteGlúon10411/r71,4 × 10-15 mEletrodinâmicaForça eletromagnéticaFóton10391/r2infinitoFlavordinâmicaForça nuclear fracaBósons W e Z10291/r5 até 1/r710-18 mGeometrodinâmicaForça gravitacionalgráviton101/r2infinito$

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

$G* = OPERADOR DE DIMENSÕES DE GRACELI.$

DIMENSÕES DE GRACELI SÃO TODA FORMA DE TENSORES, ESTRUTURAS, ENERGIAS, ACOPLAMENTOS, , INTERAÇÕES E CAMPOS, DISTRIBUIÇÕES ELETRÔNICAS, ESTADOS FÍSICOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS DE ENERGIAS DE GRACELI, E OUTROS.

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $F^{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $G*$ $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$F(\epsilon )={\frac {1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}+1}}$

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ]

\lambda

{\mathcal {T}}

\sigma

\psi

F^{\mu \nu }

T^{\mu \nu }

P^{\mu }\!

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

= $G*$

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

$c_{V}={\frac {3R}{2}}\left({\frac {\pi ^{2}T}{3T_{F}}}\right)$

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ]

\lambda

{\mathcal {T}}

\sigma

\psi

F^{\mu \nu }

T^{\mu \nu }

P^{\mu }\!

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

= $G*$

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

${\bar {n}}_{s}={\frac {g_{s}}{e^{\beta (\epsilon _{s}-\mu )}-1}}$

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ]

\lambda

{\mathcal {T}}

\sigma

\psi

F^{\mu \nu }

T^{\mu \nu }

P^{\mu }\!

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

= $G*$

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

Em mecânica estatística, a estatística de Fermi-Dirac é uma estatística quântica que descreve o comportamento de sistemas de partículas com spin semi-inteiro, os férmions. Leva o nome de dois eminentes físicos: Enrico Fermi e Paul Adrien Maurice Dirac cada um dos quais descobriu o método de forma independente (embora Fermi tenha definido as estatísticas antes de Dirac).^[1]^[2] Antes do estudo da estatística de Fermi-Dirac é necessário compreender algumas diferenças entre sistemas clássicos e quânticos. Sistemas clássicos são formados, a priori, por partículas distinguíveis, ou seja, é possível identificar e diferenciar tais partículas individualmente e nestes sistemas os efeitos quânticos são desprezíveis, sendo o sistema descrito pela estatística de Maxwell–Boltzmann. Já sistemas quânticos são formados por partículas indistinguíveis, devido à superposição de suas funções de onda, ou seja é impossível descrevê-las individualmente e neste sistema os efeitos quânticos devem ser considerados. Sistemas quânticos podem ser descritos pelas estatísticas de Fermi-Dirac ou de Bose-Einstein, dependendo do spin das partículas.^[3]^[4]

Formulação matemática[editar | editar código-fonte]

Como as partículas são indistinguíveis na estatística de Fermi-Dirac, a especificação do número de partículas é suficiente para determinarmos o estado do gás. Como os férmions obedecem ao princípio de exclusão de Pauli, não é possível que mais de uma partícula esteja no mesmo estado, se faz apenas necessário somar sobre todos os números possíveis de partículas em um único estado, ou seja, os dois possíveis valores ^[5]:

n_{r}=0,1

para cada

�

Quando o número total de partículas $�$ $N$ é fixado, a soma sobre todos os valores possíveis de $n_{r}$ $n_{r}$ , com $n_{1},n_{2},...$ $n_{1},n_{2},...$ segue a seguinte relação

\sum _{r}n_{r}=N

Dado um sistema com $�$ $N$ férmions em equilíbrio térmico a uma temperatura arbitrária $�$ $T$ , o número médio de partículas $<n_{s}>$ $<n_{s}>$ em um estado particular $�$ $s$ com energia $\epsilon _{s}$ $\epsilon _{s}$ é obtido através da distribuição canônica, logo^[5]

<n_{s}>={\frac {\sum _{n_{s}}n_{s}e^{-\beta n_{s}\epsilon _{s}}\sum _{n_{1},n_{2},...}e^{-\beta (n_{1}\epsilon _{1}+n_{2}\epsilon _{2}+...)}}{\sum _{n_{s}}e^{-\beta n_{s}\epsilon _{s}}\sum _{n_{1},n_{2},...}e^{-\beta (n_{1}\epsilon _{1}+n_{2}\epsilon _{2}+...)}}}

no qual $\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}$ $\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}$ , sendo $k_{B}$ $k_{B}$ a constante de Boltzmann. Podemos renomear alguns termos na expressão acima, de forma que obtemos

Z_{s}(N)=\sum _{n_{1},n_{2},...}e^{-\beta (n_{1}\epsilon _{1}+n_{2}\epsilon _{2}+...)}

Somando sobre $n_{s}$ $n_{s}$ = 0 e 1, temos

<n_{s}>={\frac {e^{-\beta \epsilon _{s}}Z_{s}(N-1)}{Z_{s}(N)+e^{-\beta \epsilon _{s}}Z_{s}(N-1)}}

ou, ainda, podemos simplificar:

<n_{s}>={\frac {1}{[Z_{s}(N)/Z_{s}(N-1)]e^{\beta \epsilon _{s}}+1}}

Na condição em que $\Delta N\ll N$ $\Delta N\ll N$ , podemos escrever

lnZ_{s}(N-\Delta N)=lnZ_{s}(N)-{\frac {\partial lnZ_{s}}{\partial N}}\Delta N=lnZ_{s}(N)-\alpha _{s}\Delta N

Z_{s}(N-\Delta N)=Z_{s}(N)e^{-\alpha _{s}\Delta N}

com $\alpha _{s}={\frac {\partial lnZ_{s}}{\partial N}}$ $\alpha _{s}={\frac {\partial lnZ_{s}}{\partial N}}$ . Como $Z_{s}(N)$ $Z_{s}(N)$ é uma soma sobre muitos estados, a variação de seu logaritmo com o número de partículas total $�$ $N$ não é afetado por qual estado particular $�$ $s$ foi omitido no somatório. Portanto, podemos fazer uma aproximação em que $\alpha _{s}$ $\alpha _{s}$ é independente de $�$ $s$ :

\alpha _{s}=\alpha

Ainda, podemos aproximar $\alpha$ em termos da derivada da função partição $\mathrm {Z} (N)$ sobre todos os estados, assim^[5]:

\alpha ={\frac {\partial ln\mathrm {Z} }{\partial N}}

Se utilizarmos $\Delta N=1$ na aproximação, encontraremos a distribuição de Fermi-Dirac^[5]:

<n_{s}>={\frac {1}{e^{\alpha +\beta \epsilon _{s}}+1}}

Ainda, o parâmetro $\alpha$ pode ser determinado pela primeira condição feita nesta dedução, em que

\sum _{r}<n_{r}>=N

\sum _{r}{\frac {1}{e^{\alpha +\beta \epsilon _{r}}+1}}=N

Da relação entre a função partição $�$ $Z$ e a energia livre de Helmholtz $�$ $F$ , sabemos que $F=-k_{B}Tln\mathrm {Z}$ , logo:

\alpha =-{\frac {1}{k_{B}T}}{\frac {\partial F}{\partial N}}=-{\frac {\mu }{kT}}

\alpha =-\beta \mu

onde $\mu$ é o potencial químico. Então outra forma de se definir a distribuição de Fermi-Dirac é^[5]:

<n_{s}>={\frac {1}{e^{\beta (\epsilon _{s}-\mu )}+1}}

Quando os níveis de energia são muito próximos, de modo que podemos considerar que formam um contínuo, o número médio de partículas com energia entre $\epsilon$ $\epsilon$ e $\epsilon +d\epsilon$ $\epsilon +d\epsilon$ , pode ser escrito como^[5]

n(\epsilon )=g(\epsilon )F(\epsilon )d\epsilon

Onde $g(\epsilon )$ $g(\epsilon )$ é a densidade de estados, de modo que $g(\epsilon )d\epsilon$ $g(\epsilon )d\epsilon$ fornece o número de estados com energia entre $\epsilon$ $\epsilon$ e $\epsilon +d\epsilon$ $\epsilon +d\epsilon$ . E $F(\epsilon )$ $F(\epsilon )$ é a chama função de Fermi, dada por^[5]

$F(\epsilon )={\frac {1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}+1}}$

Calor específico eletrônico[editar | editar código-fonte]

A partir da estatística de Fermi-Dirac, também é possível determinar a contribuição dos elétrons livres de um metal para o calor específico de um sólido. Uma análise detalhada mostra que o calor específico molar a volume constante devido aos elétrons é^[5]

$c_{V}={\frac {3R}{2}}\left({\frac {\pi ^{2}T}{3T_{F}}}\right)$

Como a temperatura de Fermi é muito elevada (cerca de 80000 K para o cobre), a contribuição dos elétrons livres para o calor específico é, em geral, desprezível, o que explica o fator do calor específico a volume constante de isolantes e condutores ser igual em condições típicas de temperatura.^[5]

Em um sistema quântico constituído de muitas partículas idênticas com spin inteiro, a estatística de Bose-Einstein, ou estatística BE, é utilizada para descrever o sistema e calcular os valores médios das grandezas físicas.

Em um sistema de $�$ bósons idênticos de massa $�$ , que possuem interação mútua desprezível, contidos em um recipiente de volume $�$ , a uma temperatura $�$ , em equilíbrio, o número médio de partículas ${\bar {n}}_{s}$ num estado de energia $�$ é dado por

${\bar {n}}_{s}={\frac {g_{s}}{e^{\beta (\epsilon _{s}-\mu )}-1}}$ ,

em que $g_{s}$ é a degenerescência quântica do estado $�$ , $\epsilon _{s}$ é a energia do estado $�$ , $\mu$ é o potencial químico, e $\beta =1/k_{B}T$ , em que $k_{B}$ é a constante de Boltzmann^[1].

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